Назад

План подготовки к олимпиадам по математике в Казахстане (Алгебра)

Содержание

Лицензия

Настоящий план подготовки является предметом интеллектуальной собственности ОФ Beyond Curriculum и лицензирован под условиями CC BY-NC-ND 4.0 . Вы можете распространять этот план подготовки частично или целиком при следующих условиях: вы обязаны указать правообладателя (BY, ОФ "Beyond Curriculum") с активной ссылкой на первоисточник, при этом, вы не можете видоизменять план подготовки (ND) и вы должны использовать его исключительно в некоммерческих целях (NC).

Напоминаем, что Республика Казахстан (как и многие другие страны) присоединилась к Бернской конвенции Законом РК № 297-1 от 10.11.1998 г., и конвенция вступила в законную силу с 12 апреля 1999 года. Согласно данной конвенции, страны участницы уважают авторское право других стран участниц в той же мере, в которой они уважают авторские права своих граждан.

Авторы Плана

Идеи и материалы этого плана были предоставлены Мырзатай Айбеком и отредактированы Арсланом Даминовым. Айбек — золотой медалист IMO, абсолютный чемпион и золотой медалист республиканских олимпиад, абсолютный чемпион и золотой медалист IZhO. Арслан — серебряный медалист IZhO, АПМО, МОШП и республиканских олимпиад.

IZhO — Международная Жаутыковская олимпиада, IMO — Международная Математическая олимпиада (самая престижная в мире), BMO — Балканская Математическая олимпиада, АПМО — Азиатская Тихоокеанская Математическая олимпиада, МОШП — Международная Олимпиада Шелковый Путь.

Введение

Данная программа поделена на четыре раздела. Для достижения наилучшей эффективности рекомендуется заниматься ими равномерно.

Для закрепления тем, мы предлагаем вам решать задачи по тегам в Орбитали. Но подборки, по большей части, создают искусственную обстановку. На олимпиаде не будет написано тем перед задачами, поэтому не стоит забывать о практике.

Стоит сказать, что не существует конкретного плана подготовки, изучив которые вы станете успешно выступать на олимпиадах. Одна из причин — это то, что разным людям нужно разное кол-во времени для усвоения материала: одним достаточно 10 задач, чтобы понять общую суть метода, когда как другим на это понадобится 20-30 задач. Наша логика была в том, что лучше дать больше материалов для закрепления, чем меньше, поэтому если у вас возникает чувство, что задачи легкие — пропускайте их. И помните, что цель состоит не в изучении максимального кол-ва книг или статей, а в получении максимального объёма математических навыков и знаний, а уж как вы будете их добывать — решать вам, мы лишь даем рекомендации.

Неравенства

AM-GM

  1. Chapter 1: AM-GM Inequality — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung

Cauchy-Schwartz

  1. Chapter 2: Cauchy-Schwarz and Hölder Inequalities — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung

  2. Chapter 2: Always Cauchy-Schwarz — Problems from the Book by Titu Andreescu

    Примечание: в этой книге рассматривается уже более нестандартные применения неравенства Cauchy-Schwarz

  3. Chapter 5: T2’s Lemma — Problems from the Book by Titu Andreescu

Алгебраические манипуляции

  1. Chapter 1: Point of Incident technique in AM-GM inequality (страницы 1-57) — Diamonds in Mathematical Inequalities by Tran Phuong

    Примечание: это глава о том, как правильно разложить выражение на слагаемые и применить AM-GM. Сама тема кажется тривиальной, но от этого не перестаёт быть важной. К слову, в третьей задаче на IZhO 2020 после применения базовой инверсии неравенство становится тривиальным с применением этой техники.

  2. Chapter 6: Method of Unbalanced Coefficients — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung

Чуть более продвинутые техники

Тут рассмотрим разные техники и неравенства из книги Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung которые применяются реже, но могут встретится на олимпиаде

  1. Chapter 3: Chebyshev’s Inequality
  2. Chapter 5: Abel Formula and Rearrangement Inequality
  3. Chapter 8.1: Getting Started, Schur’s Inequality
  4. Chapter 8.3: Normalization Skill

Частные случаи

  1. Nice Identity. Решения: solutions.
  2. On maximization of special function on the basis of given parameters by Sayan Mukherjee, Kolkata
  3. Chapter 1: Some Useful Substitutions — Problems from the Book by Titu Andreescu
  4. Square it! by Mathematical Excalibur

Опционально

  1. The Entirely Mixing Variables Method by Pham Kim Hung

  2. Chapter 4: Inequalities with Convex Functions — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung

  3. Muirhead’s Theorem

    Примечание: статья состоит из одной задачи.

  4. Касательные к функциям

  5. Chapter 8.4: Symmetric Separation — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung

    Примечание: это обобщение идеи касательных к функциям.

  6. Majorization and Karamata’s Inequality by Pham Kim Hung

  7. Simple Trigonometric Substitutions with Broad Results by Vardan Verdiyan, Daniel Campos Salas

Геометрические неравенства

Геометрия в неравенствах используется на олимпиадах крайне редко, но в случае если такое неравенство все таки придет, вам будет достаточно знать единственную подстановку, решающую все задачи такого рода, называемая Ravi Substitution: если (a, b, c) стороны треугольника, то существует такие положительные x,y,zx, y, z, что a=x+y,b=y+z,c=z+xa=x+y, b=y+z, c=z+x. С этим знанием можете порешать 2-ую задачу на Республиканской олимпиаде за 9 класс 2018-го года.

Многочлены

Многочлены с вещественными коэффициентами

  1. Теория по многочленам

  2. Chapter 2.7: Polynomials — Intermediate Number Theory

    Примечание: Chapter 2.8 решать не стоит.

  3. Section 1: Algebra — Polynomials by Alexander Remorov

  4. Chapter 11: Lagrange Interpolation Formula — Problems from the Book by Titu Andreescu

Многочлены с целыми коэффициентами

  1. Chapter 6: Polynomial — Functional Equations by Pang Chen Wu

  2. Integer Polynomials by Yufei Zhao

    Примечание: Тут рассказывается про неприводимость целочисленных многочленов.

  3. Section 2: Number Theory — Polynomials by Alexander Remorov

  4. Chapter 2.2: Induction and Binomial Coefficients — Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu

    Примечание: тут рассказывается про биномиальные коэффициенты, а также то, как они собою производят все целочисленные многочлены. Целочисленные многочлены — множество многочлены с целыми значениями в целых точках, включающие в себя целочисленные многочлены.

  5. Chapter 10: Arithmetic Properties of Polynomials — Problems from the Book by Titu Andreescu

Опционально

Problems from the Book by Titu Andreescu

  1. Chapter 23: Some Special Applications Polynomials

  2. Chapter 21: Some Useful Irreducibility Criteria

    Примечание: тут объясняется неприводимость многочленов. Это тяжелее чем Yufei Zhao и однозначно выходит за пределы олимпиадной математики.

Здесь дано даже больше ресурсов чем вам нужно для решения обычных задач на олимпиаде. Не забывайте, что всякую тему надо тренировать на задачах из международных и национальных олимпиад, а также на задачах из IMO Short List.

Функциональные уравнения

  1. Functional Equations by Pang Chen Wu

У вас мог возникнуть вопрос: "почему тут только одна книга?" или "почему так мало?". Все дело в том, что почти все функциональные уравнения описываются как “подстановка, рассуждения”, “подстановка, рассуждения”, … и так до окончательного решения. Особенных и при этом часто используемых техник в функциональных уравнениях очень мало, поэтому нашёлся человек, который решил их всех описать в одной книге. После изучения этой книги вы становитесь очень умелым алгебраистом в контексте фур. Но если вы считаете, что этого недостаточно, тогда рекомендуем решать задачи с IMO SL, USAMO, USA TSTST, USA TST, China MO, China TST и т. д. Также

Математический анализ

Вообще, мат. анализ обычно не встречается на математических олимпиадах, НО знание основ мат. анализа может облегчить решение многих задач. Также, стоит заметить, что такие инструменты мат. анализа как производные, пределы, интегралы, и т. д. будут встречаться в последующих темах, поэтому настоятельно рекомендуем понять их.

Курс Бориса Трушина по мат. анализу:

  1. Пределы:
    1. Предел последовательности | матан #006
    2. Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами | матан #007
    3. Свойства пределов последовательностей, связанные с арифм. действиями | матан #008
    4. Пределы основных последовательностей | матан #009
    5. Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса | матан #010
    6. Теорема Больцано — Вейерштрасса | матан #012
    7. Критерий Коши сходимости числовых последовательностей | матан #013
    8. Предел функции. Определение предела функции "по Коши" и "по Гейне" | матан #014
  2. Производная:
    1. Производная. Начало | Ботай со мной #056
    2. Производная произведения и частного | Ботай со мной #058
    3. Что такое касательная | Осторожно, спойлер!
    4. Производная произведения и частного | Ботай со мной #058
  3. Число ee:
    1. Число e | матан #011
    2. Число e на пальцах | Ботай со мной #054
  4. Интеграл:
    1. Что такое интеграл, формула Ньютона-Лейбница | Осторожно, спойлер!
    2. Кратные интегралы | Высшая математика на пальцах
  5. Интересные факты:
    1. Стрёмный экстремум | В интернете опять кто-то неправ #008 (Артур Шарифов)
    2. Стрёмный экстремум. Часть II | В интернете опять кто-то неправ #009
    3. Такие разные бесконечности. Счётные и несчётные множества | матан #005
    4. Дотянуться до континуума | Ботай со мной #041
    5. Лев против дрессировщика | Ботай со мной #062
    6. Hard! Тысячеугольник | Ботай со мной #064
    7. Тысячеугольник 2.0 | Ботай со мной #065
  6. Разбор некоторых сложных задач на анализ:
    1. Математика для поступивших. Разбор семестровой работы МФТИ | #ТрушинLive #011

Линейная алгебра

Все топовые школьники в США, Китае и других странах проходят линейную алгебру на сборах. Цитата Po Sheh Loh, тренера сборной США на IMO, объясняет почему: “Когда я пришёл на интервью с коллегией, которая занимается организацией математических олимпиад и сборов в США, я им сразу сказал: если вы решите назначить меня тренером, знайте сразу — я не буду стараться натренировать учеников по максимуму. Моей целью никогда не будет получение топового результата. На чем я хочу фокусироваться, так это на раскрытии потенциала каждого из учащихся. Из 20 участников сборов, всего 6 поедут на саму олимпиаду, а я хочу чтобы как можно больше людей из 20 раскрыли себя и были успешными и через 5, и через 10 лет. И они меня взяли.

And then we won accidentally three times (2015, 2016, 2018).”

Для США изучение линейной алгебры — это как бы способ показать школьникам суровый матан, при этом иногда применяемый в олимпиадных задачах. Если вы действительно топовый математик, считающий себя не менее достойным, как и ученики из сборной США, и хотите изучить что-то интересное и связанное с высшей математикой, но не уходить совсем далеко от олимпиадных задач (или уходить) — вы можете порешать данные материалы.

В добавок к аргументам за решение линейной алгебры (также как и мат. анализа и теории вероятностей) будет то, что это действительно применимые знания в промышленности и науках. Самые очевидные примеры это computer and data science, statistics. Также это развивает те части мозга, которые обычно не подключаются когда вы решаете стандартные мат. олимпиадные задачи; вы начнёте развивать в себе новые идеи и гибкость мозга.

Хочу сказать, что если хотя бы один человек в Казахстане решит эту секцию полностью, это уже будет радостная новость. Удачи!

Теория:

Для начала прочитайте определение следующих терминов: поле, кольцо, векторное пространство.

  1. Chapter 9: Vector Spaces — An Infinitely Large Napkin by Evan Chen
  2. Lecture 1: Matrix-Vector Multiplication — Numerical Linear Algebra by Lloyd Trefethen and David Paul
  3. Chapter 10: Eigen Things — An Infinitely Large Napkin by Evan Chen
  4. Lecture 2: Orthogonal Vectors and Matrices — Numerical Linear Algebra by Lloyd Trefethen and David Paul

Essential Linear Algebra by Titu Andreescu:

  1. Chapter 3: Matrices and Linear Equations
  2. Chapter 4: Vector spaces and subspaces
  3. Chapter 5: Linear Transformations
  4. Chapter 7: Determinants
  5. Lecture 3: Norms — Numerical Linear Algebra by Lloyd Trefethen and David Paul
  6. Chapter 12: Determinant — An Infinitely Large Napkin by Evan Chen
  7. Chapter 13: Inner Product Spaces — An Infinitely Large Napkin by Evan Chen

Применение в олимпиадных задачах:

  1. Summer 2015 Camp Training Canada — Vector Space Over Z/2Z
  2. Algebraic Methods in Combinatorics by Po Sheh Loh (обязательно к решению)
  3. Yufei Zhao’s articles:
    • Algebraic Techniques in Combinatorics
    • Linear Algebra Tricks for the Putnam
    • Determinants, Evaluation and Manipulation

Подборки задач на линейную алгебру из ТЧ/Алгебры:

Problems from the Book by Titu Andreescu:

  1. Chapter 9: A Brief Introduction to Algebraic Number Theory
  2. Chapter 12: A Higher Algebra in Combinatorics

Другое

  1. On the 1k+2k+...+nk1^k+2^k+...+n^k by Aibek Myrzatay