Назад

План подготовки к олимпиадам по математике в Казахстане (Геометрия)

Содержание

Лицензия

Настоящий план подготовки является предметом интеллектуальной собственности ОФ Beyond Curriculum и лицензирован под условиями CC BY-NC-ND 4.0 . Вы можете распространять этот план подготовки частично или целиком при следующих условиях: вы обязаны указать правообладателя (BY, ОФ "Beyond Curriculum") с активной ссылкой на первоисточник, при этом, вы не можете видоизменять план подготовки (ND) и вы должны использовать его исключительно в некоммерческих целях (NC).

Напоминаем, что Республика Казахстан (как и многие другие страны) присоединилась к Бернской конвенции Законом РК № 297-1 от 10.11.1998 г., и конвенция вступила в законную силу с 12 апреля 1999 года. Согласно данной конвенции, страны участницы уважают авторское право других стран участниц в той же мере, в которой они уважают авторские права своих граждан.

Авторы Плана

Идеи и материалы этого плана были предоставлены Мырзатай Айбеком и отредактированы Арсланом Даминовым. Айбек — золотой медалист IMO, абсолютный чемпион и золотой медалист республиканских олимпиад, абсолютный чемпион и золотой медалист IZhO. Арслан — серебряный медалист IZhO, АПМО, МОШП и республиканских олимпиад.

IZhO — Международная Жаутыковская олимпиада, IMO — Международная Математическая олимпиада (самая престижная в мире), BMO — Балканская Математическая олимпиада, АПМО — Азиатская Тихоокеанская Математическая олимпиада, МОШП — Международная Олимпиада Шелковый Путь.

Введение

Данная программа поделена на четыре раздела. Для достижения наилучшей эффективности рекомендуется заниматься ими равномерно.

Для закрепления тем, мы предлагаем вам решать задачи по тегам в Орбитали. Но подборки, по большей части, создают искусственную обстановку. На олимпиаде не будет написано тем перед задачами, поэтому не стоит забывать о практике.

Стоит сказать, что не существует конкретного плана подготовки, изучив которые вы станете успешно выступать на олимпиадах. Одна из причин — это то, что разным людям нужно разное кол-во времени для усвоения материала: одним достаточно 10 задач, чтобы понять общую суть метода, когда как другим на это понадобится 20-30 задач. Наша логика была в том, что лучше дать больше материалов для закрепления, чем меньше, поэтому если у вас возникает чувство, что задачи легкие — пропускайте их. И помните, что цель состоит не в изучении максимального кол-ва книг или статей, а в получении максимального объёма математических навыков и знаний, а уж как вы будете их добывать — решать вам, мы лишь даем рекомендации.

По ходу этого модуля вы часто будете встречать две книги: Euclidian Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen и Lemmas in Olympiad Geometry by Titu Andreescu. Поэтому хотим написать небольшие комментарии:

  1. О книге Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen: Как и в любой книге в ней существуют ошибки, которые могут привести вас к ситуации, когда вы часами решаете неправильную задачу. С целью избежать таких казусов есть специальный документ от Evan Chen’а со всеми найденными ошибками, где красными отмечены фатальные ошибки полностью меняющее утверждение задачи. Как вы наверное успели заметить в книге к каждой задаче предлагается 5 подсказок, что делает эту книгу одной из лучших среди своих аналогов. Подсказки заменяют тренера, которые должен наводить своих учеников в правильном направлении в случае, если они “застряли” в задаче или остаются без идей. Настоятельно рекомендуем перед прочтением подсказки решать задачу определённое кол-во времени и читать их только тогда, когда они вам действительно нужны или вы уже минут десять сидите без идей. Как правило, вы должны находить решение задачи после 4-ой подсказки, а пятая подсказка должна быть только для тех случаев, когда задача была действительно сложной. Из наличия подсказок исходит, что вы не так часто должны прибегать к прочтению самих решений (кроме, конечно, случаев когда вы решили задачу и читаете её решение для ознакомления с идеями автора), но если вы все таки вынуждены прочитать решение, вы можете прибегнуть к помощи страницы на AoPS именуемый как Contest Collections, либо же специальному форуму по обсуждению задач из EGMO.
  2. Форум по обсуждению задач из Lemmas in Olympiad Geometry by Titu Andreescu.

Счёт

Счёт углов и подобие

  1. Chapter 1: Angle Chasing — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen
  2. Constructions by Carl Joshua Quines
  3. Similarity by Yufei Zhao

Степень точки

  1. Chapter 2: Circles — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen

  2. Chapter 1: Power of a Point — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

    Примечание: Если вас интересует теорема о бабочке, то можете факультативно прочитать статью про шесть доказательств теоремы о бабочке.

  3. Degenerate Circles by Nathan Ramesh

Примечание: Точка это окружность с радиусом 0 !

  1. Chapter 3: Carnot and Radical Axes — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

Отношение сторон

Если счёт углов учит вас тому, как переводить отношение сторон в отношение углов, то счёт сторон будет вас учить прямо противоположному. Сюда входят теоремы Чевы, Менелая, Птолемея и тригонометрия.

Для изучения этих материалов было бы полезным хотя бы знать что такое синус, косинус, тангенс, котангенс, а также такие теорему синусов и косинусов. Определение базовых тригонометрических функции через прямоугольный треугольник можно узнать в любом школьном учебнике, либо в этом видео. Про определение и доказательство теорем косинусов и синусов вы можете узнать в этом видео. Эти знания поверхностные, но достаточны для решения задач из этой подборки. Для более глубокого понимания рекомендуется посмотреть 2-х часовое видео Бориса Трушина — Тригонометрические формулы.

  1. Chapter 3: Lengths and Ratios — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen
  2. Chapter 5: Computational Geometry — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen
  3. Chapter 3: Ceva, Trig Ceva, Quadrilateral Ceva — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu
  4. Chapter 4: Menelaus Theorem — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu
  5. Chapter 6: Jacobi’s Theorem — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu
  6. Ptolemy’s Sine Lemma by Fedir Yudin and Nikita Skybytskyi

Вы уже решили все то, что нужно для решения многих задач на Республиканской олимпиаде и IMO. Не поверите, но даже за 10 и 11 классы на Республиканской олимпиаде приходят задачи где не нужно больше ничего знать кроме счета, уголков и подобий. Однако многие люди их не решают (как примеры IZhO 2019 P4). Тем не менее, материалы идущие дальше будут ещё больше совершенствовать ваше умение решать геометрию, и ознакомят вас с новыми конструкциями и методами.

Конструкции

  1. Chapter 4: Assorted Configurations — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen

    Примечание: если вам понравилось последняя задача, то рекомендуется посмотреть сюжет о сложной и красивой Задаче Ивлева. Решения многих задач оттуда, а также некоторые обобщения можно встретить в предложенной статье.

  2. Конструкция вокруг вписанной окружности Д. В. Швецова

  3. Chapter 9: Symmedians — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

  4. Chapter 14: Homothety — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

А также обязательно решите для себя задачу 2015 USA TST P1, которая замечательно раскрывает конструкцию вокруг гомотетии между вписанной и вневписанной окружностями. К слову, в начале было удивление из-за того, что Evan Chen, будучи составителем этой задачи, не вставил её в свою книгу. Но как оказывается, это задача была включена в другую его статью, которая идёт следующей, и которую мы рекомендуем прочитать всем кто хочет понять как создаются задачи по геометрии. Она будет полезна не только для юных составителей задач, но и для олимпиадников, которые решают задачи от этих самых составителей.

  1. Writing Olympiad Geometry Problems by Evan Chen

Описанные четырёхугольники

  1. Нестандартные признаки описанности П. Кожевникова

Воробьями по пушкам

Полянский в своей статье рассказывает про лёгкие и интересные леммы, которые порой решают сложные задачи и являются обязательным инструментом в арсенале любого геометра. Даже если вы этого не осознавали, все воробьи являются примерами поворотной гомотетии. Поэтому рекомендуем изучить воробьёв после изучения, так называемого Spiral Similarity, ибо это даст вам понимание природы этих лемм и того, что заложено в их корень.

  1. Воробьями по пушкам А. Полянского

    Примечание: решение некоторых задач можете найти в его статье из кванта.

  2. Generalization of a Problem with Isogonal Conjugate Point by Tran Quang Hung and Pham Huy Hoang

Изогональное сопряжение

  1. Chapter 7: Isogonal Conjugates and Pedal Triangles — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

  2. Section 2, 3: Isogonal Conjugation in Polygons: — Advanced Lemmas in Geometry by Fedir Yudin

Примечание: Может быть дополнена третьей секцией — A Few Configurations by Victor Rong

  1. Section 3: Isogonal Lemma — Advanced Lemmas in Geometry by Fedir Yudin

Геометрические преобразования

Инверсия

  1. Chapter 8: Inversion — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen
  2. Chapter 15: Inversion — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

Если вы не полностью можете понять некоторые решения, тогда вы можете почитать другие решения с инверсией с AoPS или со статьи Оразалина Алибека. Большинство проблем возникают, когда начинают использовать свойства композиции инверсии с центральной симметрией, либо композиции инверсии с симметрией относительно биссектрисы угла треугольника. Просто помните, что если условие XX сохраняется после обоих движений плоскости, тогда она сохраняется и при их композиции.

Проективная геометрия

  1. Chapter 9: Projective Geometry — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen
  2. Chapter 5: Desargues and Pascal — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu
  3. Chapter 10: Harmonic Divisions — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu
  4. Chapter 11: Appendix A: Some Generalizations of Blanchet’s Theorem — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu
  5. Chapter 12: Poles and Polars — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu
  6. Chapter 13: Appendix B: An Incircle Related Perpendicularity — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

Спиральная симметрия

  1. Chapter 19: Complete Quadrilaterals — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu
  2. Chapter 10: Complete Quadrilaterals — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen
  3. On a special center of spiral similarity by Jafet Baca

Рекомендуется сбалансированно совмещать [1] и [2], т. е. сначала решать [1] до Delta 19.7, а затем переключится на [2] и решать её пока не застрянете, потом снова [1] пока не застрянете и т. д.

Полувписанные окружности

  1. Chapter 4: Assorted Configurations — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen

  2. Chapter 17: Mixtilinear and Curvilinear Incircles — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

  3. A Guessing Game: Mixtilinear Incircles by Evan Chen

    Примечание: тут больше всего интересны философское вступление и элемент игры в угадывание.

  4. On mixtilinear incircles by Jafet Baca

    Примечание: эта шикарная статья, и она отлично дополняет оставшиеся; также у неё достаточно сложные задачи в конце.

Конструкции 2

  1. Two applications of a Lemma on Intersecting Circles by Vladimir Dubrovsky

  2. Special Point on a Median by Anant Mudgal, Gunmay Handy

  3. A point with Many Properties by Yimin Ge

  4. Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и еще одна точка Ю. Блинкова

  5. Chapter 16: The Monge-D'Alembert Circle Theorem — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

  6. Chapter 8: Simson and Steiner— Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

  7. Chapter 21: Apollonian Circles and Isodynamic Points — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu

  8. About geometric problem in Sharygin contest 2015 by Tran Quang Hung

BASH!

В этой части вы научитесь решать геометрические задачи алгебраически. Однако, заметьте тот факт, что любая геометрическая задача может быть решена без использования алгебраического метода.

Барицентрические координаты

  1. Chapter 7: Barycentric Coordinates — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen
  2. Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry by Max Schindler, Evan Chen

Комплексные координаты

  1. Chapter 6: Complex Numbers — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen

Метод анимации

  1. The Method of Moving Points by Vladyslav Zveryk

    Примечание: можете посмотреть форум по обсуждению задач из Moving Points by Vladyslav Zveryk.

  2. The Method of Animation by Zack Chroman, Gopal K. Goel, Anant Mudgal AoPS