План подготовки к олимпиадам по математике в Казахстане (План для начинающих)

Содержание

• Лицензия
• Автор плана
• Введение
• Арифметические задачи
• Логические задачи
• Чётность
• Комбинаторика
• Графы
• Теория чисел
• Принцип Дирихле
• Игры / Стратегии
• Инвариант
• Геометрия
• Неравенства
  • Интернет ресурсы

Лицензия

Настоящий план подготовки является предметом интеллектуальной собственности ОФ Beyond Curriculum и лицензирован под условиями CC BY-NC-ND 4.0 . Вы можете распространять этот план подготовки частично или целиком при следующих условиях: вы обязаны указать правообладателя (BY, ОФ "Beyond Curriculum") с активной ссылкой на первоисточник, при этом, вы не можете видоизменять план подготовки (ND) и вы должны использовать его исключительно в некоммерческих целях (NC).

Напоминаем, что Республика Казахстан (как и многие другие страны) присоединилась к Бернской конвенции Законом РК № 297-1 от 10.11.1998 г., и конвенция вступила в законную силу с 12 апреля 1999 года. Согласно данной конвенции, страны участницы уважают авторское право других стран участниц в той же мере, в которой они уважают авторские права своих граждан.

Автор плана

Этот план был сведен Болатовым Арманом (серебряный медалист IZhO) на основании рекомендаций самого титулованного тренера по математике в стране: Хаджимуратова Нурсултана (золотой медалист IMO, BMO, Западно-Китайской МО).

IZhO — Международная Жаутыковская олимпиада, IMO — Международная Математическая олимпиада (самая престижная в мире), BMO — Балканская Математическая олимпиада.

Введение

Первая ваша задача на данном этапе — это обострить свою любовь к математике. Это важно для того, чтобы достич успеха в олимпиадах. Работа должна сопровождаться удовольствием. Не потому, что удовольствие это хорошо, а потому, что таким образом вы облегчаете повышение нагрузок, а также добавляете фактор X10, о котором расскажу позже. Цитата Evan Chen’а, студента PhD по математике в MIT, золотого медалиста IMO:

Officially, when I was a contestant I spent maybe 20 hours a week doing math contest preparation. But the actual amount of time is higher. The reason is that I would think about math contests more like 24/7. During English class, I would often be daydreaming about the inequality I worked on last night. On the car ride home, I would idly think about what I was going to teach my middle school students the next week. To say nothing of showers: during my showers, I would draw geometry diagrams on the wall with water on my finger. So spiritually, I maybe spent 10 times as much time on math olympiads compared to an average USA(J)MO qualifier.

Чтобы привить себе любовь к математике, вам нужно, во-первых, поменять свое отношение к занятиям математики. Во-вторых, отдавать предпочтение темам, которые больше нравятся — допустим, заниматься геометрией чуть больше чем алгеброй. В-третьих, познавать математику с разных сторон, в чем помогут подборки ресурсов в последней секции этого плана. Также хочется сказать, что время, когда ученики начинают заниматься олимпиадами — это время, когда люди учатся любить что-то интеллектуальное или развивающее, даже если это может быть тяжело. Это несомненно поможет во взрослой жизни.

Второе, что вы должны сделать на этом этапе — это заложить базу в логике и рассуждениях. Вы должны научиться правильно формулировать утверждения и выстраивать решения, используя ряд логически связанных утверждений. Такая логика — это все на чем строится комбинаторика, и не заложив крепкий фундамент в ней, вы вряд ли сможете раскрыть свой потенциал “изощренного комбинатора”. Закладывать основы математической грамотности, на самом деле, должны учителя путем проверки ваших решений, но если таковой возможности не имеется, вы должны по честному доказывать самим себе каждую задачу.

Арифметические задачи

(Если же ты уверен(-а) в своих знаниях в нижеперечисленных темах, можешь их пропустить и начать изучать следующие разделы.)

Темы:

• Знакомство с арифметическим методом
• Проценты
• Бассейны, работа и прочее
• Увидеть движение
• Путь, скорость, время
• Движение катера по течению и против
• Многочлены и одночлены и как с ними работать
• График линейного уравнения

Ресурсы:

В. П. Чулков, «Арифметические задачи»

Логические задачи

Темы:

• Перебор в логических задачах
• Ищем заветную ниточку. Табличный метод представления данных
• Таинственный остров. Задачи про рыцарей, лжецов и хитрецов
• Метод от противного

Ресурсы:

• И. В. Раскина, Д. Э. Шноль, «Логические задачи»
• Н. В. Горбачев, “Сборник Олимпиадных Задач по Математике”
• А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, «Как решают нестандартные задачи»

Чётность

Темы:

• Чётность суммы и произведения
• Чередование
• Разбиение на пары

Ресурсы:

• Л. Е. Медников, «Четность»
• С.А.Генкин, И.В.Итенберг, Д.В.Фомин, «Ленинградские математические кружки»
• А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, «Как решают нестандартные задачи»

Комбинаторика

Темы:

• Правило произведения и сложения
• Перестановки и подстановки
• Сочетания и размещения
• Раскладки и разбиения
• Анаграммы

Ресурсы:

• С.А.Генкин, И.В.Итенберг, Д.В.Фомин, «Ленинградские математические кружки»
• А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, «Как решают нестандартные задачи»

Графы

Темы:

• Знакомство с графами. Степень вершины
• Двудольные графы. Лемма о рукопожатиях
• Основные понятия. Обходы
• Деревья

Ресурсы:

• В. М. Гуровиц, В. В. Хорвина, «Графы»
• О. И. Мельников, «Занимательные задачи по теории графов»
• А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, «Как решают нестандартные задачи»

Теория чисел

Темы:

• Делимость чисел
• Признаки делимости
• Деление с остатком
• Простые числа
• НОД и НОК. Алгоритм Евклида
• Уравнения в целых числах
• Теорема о простых делителях
• Каноническое разложение. Основная теорема арифметики
• Малая теорема Ферма, теорема Эйлера
• Целая часть числа, дробная часть числа

Ресурсы:

А. И. Сгибнев, «Делимость и простые числа» И. М. Виноградов, «Теория Чисел»

Принцип Дирихле

Темы:

• Зайцы и клетки
• Принцип Дирихле и четность
• Принцип Дирихле на плоскости

Ресурсы:

• С. А. Генкин, И. В.Итенберг, Д. В. Фомин, «Ленинградские математические кружки»
• А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, «Как решают нестандартные задачи»

Игры / Стратегии

Темы:

• Игры шутки
• Симметричные стратегии
• Выигрышные позиции
• Анализ с конца

Ресурсы:

• С. А. Генкин, И. В.Итенберг, Д. В. Фомин, «Ленинградские математические кружки»
• А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, «Как решают нестандартные задачи»

Инвариант

Темы:

• Что такое инвариант?
• Инвариант – раскраска
• Инвариант – четность
• Инвариант – остатки
• Полуинвариант

Ресурсы:

С. А. Генкин, И. В.Итенберг, Д. В. Фомин, «Ленинградские математические кружки» А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, «Как решают нестандартные задачи»

Геометрия

Темы:

• Признаки равенства треугольников. Признаки и свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника
• Окружность. Замечательное свойство окружности. Касательная к окружности. Касающиеся окружности. Описанный четырёхугольник
• Параллелограмм. Трапеция. Средняя линия треугольника и трапеции. Теорема Фалеса.
• Углы, связанные с окружностью. Вписанный четырёхугольник
• Теорема Пифагора
• Подобные треугольники
• Пропорциональные отрезки в круге
• Метрические соотношения в треугольнике
• Геометрические преобразования
• Геометрические неравенства
• Основные тригонометрические тождества

Ресурсы:

• И. Ф. Шарыгин, «Сборник задач по геометрии» (Обязательная книга)
• В. В. Прасолов, «Задачи по планиметрии» (1, 2, 3 главы)

Неравенства

Темы:

• Доказательство неравенств
• Простейшие неравенства
• Неравенство о средних
• Неравенство Коши-Буняковского
• Метод Штурма

Ресурсы:

• Н. М. Седракян, "Неравенства. Методы доказательства"
• Pham Kim Hung, Secrets In Inequalities