Западно-Китайская олимпиада по математике 2018 года | Казахстанские олимпиады

Дан остроугольный треугольник $ABC$, причем $AB > AC$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно так, что $BF+CE=BC$. Точки $I_{B} , I_{C}$ — центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам $B$ и $C$ соответственно. Прямые $EI_{C} , FI_{B}$ пересекаются в точке $T$. Точка $K$ — середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Прямая $KT$ и описанная окружность треугольника $ABC$ пересекаются в точках $K$ и $P$. Докажите, что точки $T, F, P, E$ лежат на одной окружности.