Западно-Китайская олимпиада по математике 2011 года | Казахстанские олимпиады

Дано целое $n \geq 2$.
a) Докажите, что существует такая перестановка $A_{1}, A_{2},\ldots , A_{2^{n}}$ подмножеств множества $\{1,2 \ldots ,n\}$, что $|A_{i+1}| = |A_{i}| + 1$ или $|A_{i}| - 1$ при $i = 1,2,3,\ldots , 2^{n}$, и $A_{2^{n} + 1} = A_{1}$.
b) Найдите все возможные значения $\sum \limits_{i = 1}^{2^n} (-1)^{i}S(A_{i})$, где $S(A_{i})$ обозначает сумму элементов $A_{i}$ и $S(\emptyset) = 0$, для любой последовательности $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{2^n}$ из пункта a).