Западно-Китайская олимпиада по математике 2010 года | Казахстанские олимпиады

Даны неотрицательные числа $a_1,a_2,..,a_n,b_1,b_2, \ldots ,b_n$, удовлетворяющие следующим условиям:
(i) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = 1$;
(ii) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i(a_i - b_i) = 0$;
(iii) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^2(a_i + b_i) = 10$.
Докажите, что $\text{max}\{a_k,b_k\} \le \dfrac{10}{10+k^2}$ при любых $1 \le k \le n$.