Западно-Китайская олимпиада по математике 2008 года | Казахстанские олимпиады

Последовательность действительных чисел $\{a_{n}\}$ определена следующим образом: $a_{0}\neq 0,1$, $a_1=1-a_0$,$a_{n+1}=1-a_n(1-a_n)$, $n=1,2, \ldots$. Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{0}a_{1} \ldots a_{n}(\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+ \ldots +\frac{1}{a_n})=1.$