Западно-Китайская олимпиада по математике 2003 года | Казахстанские олимпиады

В выпуклый четырехугольник $ABCD$ вписали окружность, которая касается сторон $AB, BC, CD, DA$ в точках $A_1, B_1, C_1, D_1$, соответственно. Через $E, F, G, H$ обозначим середины $A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$, соответственно. Докажите, что $EFGH$ является прямоугольником тогда и только тогда, когда $A, B, C, D$ лежат на одной окружности.