Западно-Китайская олимпиада по математике 2003 года | Казахстанские олимпиады

Последовательность $\{a_n\}$ задана следующим образом: $a_0 = 0, a_{n + 1} = ka_n + \sqrt {(k^2 - 1)a_n^2 + 1},$ $n = 0, 1, 2, \ldots$, где $k$ — фиксированное натуральное число. Докажите, что все члены этой последовательности являются целыми числами и $2k$ делит $a_{2n}$ ($n = 0, 1, 2, \ldots$).