Шелковый путь олимпиада по математике 2022 года | Казахстанские олимпиады

В бесконечной последовательности $\{\alpha\}$, $\{\alpha^2\}$, $\{\alpha^3\}$, $\ldots$ встречается только конечное количество разных чисел. Докажите, что $\alpha$ — целое число. (Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $\{x\} = x-[x]$, где $[x]$ это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)