Шелковый путь олимпиада по математике 2021 года | Казахстанские олимпиады

В треугольнике $ABC$, точка $M$ — середина стороны $AB$. На отрезке $AC$ отмечена точка $B_1$ такая, что $CB = CB_1$. Окружности $\omega$ и $\omega_1$, описанные около треугольников $ABC$ и $BMB_1$, соответственно, пересекаются во второй раз в точке $K$. Точка $Q$ — середина дуги $ACB$ окружности $\omega$. Прямые $B_1Q$ и $BC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что прямая $KC$ делит отрезок $B_1E$ пополам.