Шелковый путь олимпиада по математике 2019 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{99}$ положительные действительные числа такие, что $ia_j+ja_i\ge i+j$ для всех $1\le i < j \le 99.$ Докажите, что $(a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!.$