Шелковый путь олимпиада по математике 2017 года | Казахстанские олимпиады

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. На отрезках $AO$ и $DO$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно. Прямая $EF$ пересекает $\omega$ в точках ${{E}_{1}}$ и ${{F}_{1}}$. Описанные окружности треугольников $ADE$ и $BCF$ пересекают отрезок $EF$ в точках ${{E}_{2}}$ и ${{F}_{2}}$ соответственно (считайте, что все точки $E$, $F$, $E_1$, $F_1$, $E_2$ и $F_2$ различны). Докажите, что ${{E}_{1}}{{E}_{2}}={{F}_{1}}{{F}_{2}}$.