Шелковый путь олимпиада по математике 2016 года | Казахстанские олимпиады

Даны натуральные числа $a,b$ и функция $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такая, что для любого натурального $n$ число $f\left( n+a \right)$ делится на $f\left( {\left[ {\sqrt n } \right] + b} \right)$. Докажите, что для любого натурального $n$ существует $n$ попарно различных и попарно взаимно простых натуральных чисел ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$ такие, что число $f\left( {{a}_{i+1}} \right)$ делится на $f\left( {{a}_{i}} \right)$ для каждого $i=1,2, \dots ,n-1$. (Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$; $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел.)