Шелковый путь олимпиада по математике 2012 года | Казахстанские олимпиады

Докажите, что для любого целого положительного $n$ среднее арифметическое чисел $\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$ лежит на отрезке $\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$.