Шелковый путь олимпиада по математике 2009 года | Казахстанские олимпиады

В треугольнике $ABC$ биссектрисы внутренних углов $A$ и $C$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно, а описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_2$ и $C_2$, соответственно. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $A_1C_2$ и $C_1A_2$, а $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $KI$ проходит через середину $AC$.