Шелковый путь олимпиада по математике 2005 года | Казахстанские олимпиады

Пусть натуральное число $n \ge 2$. Докажите, что $(1^{n-1} + 2^{n-1} + \ldots + (n-1)^{n-1}) + 1 \text{ делится на } n$ тогда и только тогда, когда для каждого простого делителя $p$ числа $n$ \dfrac{n}{p}-1 \text{ делится на p$и$\dfrac{n}{p}-1$делится на$p - 1}.