Шелковый путь олимпиада по математике 2003 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_{2003}$ является последовательностью действительных чисел. Элемент $a_k$, $1 \le k \le 2003$, назовем $\textit{ведущим}$ элементом, если хотя бы одно из выражений $a_k, a_k + a_{k+1}, \ldots, a_k + a_{k+1} + \ldots + a_{2003}$ является положительным. Докажите, сумма всех ведущих элементов последовательности является положительной, если последовательность имеет хотя бы один ведущий элемент.