Назад

Шелковый путь олимпиада по математике 2002 года | Казахстанские олимпиады

Пусть nn натуральное число n>2n > 2 и a1,a2,…,an∈R+a_1,a_2,\dots,a_n \in \mathbb{R}^+ — положительные действительные числа. Даны произвольные натуральные числа tt, kk, pp, причем 1<t<n1 < t < n, положим также m=k+pm=k+p. Докажите следующие неравенства: 1)a1pa2k+a3k+⋯+atk+a2pa3k+a4k+⋯+at+1k+⋯+an−1pank+a1k+⋯+at−2k+anpa1k+a2k+⋯+at−1k≥(a1p+a2p+⋯+anp)2(t−1)(a1m+a2m+⋯+anm)1) \quad \frac{{a_1^p}}{{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}} + \frac{{a_2^p}}{{a_3^k + a_4^k + \cdots + a_{t + 1}^k}} + \cdots + \frac{{a_{n - 1}^p}}{{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t - 2}^k}} + \frac{{a_n^p}}{{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t - 1}^k}} \ge \frac{{{{(a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p)}^2}}}{{(t - 1)(a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m)}} 2)a2k+a3k+⋯+atka1p+a3k+a4k⋯+at+1ka2p+⋯+ank+a1k+⋯+at−2kan−1p+a1k+a2k+⋯+at−1kanp≥(t−1)(a1k+a2k+⋯+ank)2a1m+a2m+⋯+anm2) \quad \frac{{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}}{{a_1^p}} + \frac{{a_3^k + a_4^k \cdots + a_{t + 1}^k}}{{a_2^p}} + \cdots + \frac{{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t - 2}^k}}{{a_{n - 1}^p}} + \frac{{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t - 1}^k}}{{a_n^p}} \ge \frac{{(t - 1){{(a_1^k + a_2^k + \cdots + a_n^k)}^2}}}{{a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m}}