Мусабаевская олимпиада по математике 2019 года | Казахстанские олимпиады

На отрезке $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Пусть $I$, $K$, $L$ — соответственно центры вписанных окружностей $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ треугольников $ABC$, $ABM$, $ACM$. Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_2$ и $\omega_3$, отличная от прямой $BC$, пересекает отрезок $AM$ в точке $J$. Известно, что точки $I$ и $J$ не совпадают и лежат внутри $\triangle AKL$. Докажите, что в треугольнике $AKL$ точки $I$ и $J$ изогонально сопряжены. (Внутренние точки $P$ и $P'$ треугольника $ABC$ называются изогонально сопряжёнными, если $\angle ABP=\angle CBP'$, $\angle BAP = \angle CAP'$, $\angle BCP=\angle ACP'$.)