Юниорская Балканская олимпиада по математике 2017 года | Казахстанские олимпиады

На плоскости дан правильный $2n$-угольник $P$: $A_{1}A_{2} \dots A_{2n}$, где $n$ — натуральное число. Будем говорить, что точка $S$, лежащая на одной из сторон $P$, может быть видна из точки $E$, лежащей вне $P$, если отрезок $SE$ не содержит других точек лежащих на $P$ кроме $S$. Окрасим все точки на сторонах $P$ кроме вершин в три цвета (вершины $P$ остаются бесцветными) так, что каждая сторона окрашена в один цвет и каждый цвет использован хотя бы раз. Более того, из каждой точки вне $P$ могут быть видны точки на сторонах $P$ двух или более цветов. Найдите всевозможное количество таких раскрасок $P$ (Две раскраски многоугольников считаются разными, если хотя бы одна из сторон окрашена иначе).