Юниорская Балканская олимпиада по математике 2017 года | Казахстанские олимпиады

Остроугольный треугольник $ABC$ $(AB \neq BC)$ вписан в окружность $\Gamma$, центром которой является точка $O$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$, а точка $D$ лежит на $\Gamma$ так, что $AD \perp BC.$ Рассмотрим точки $T$ и $Q$, лежащие по одну сторону от прямой $BC$, такие, что $BDCT$ — параллелограмм и $\angle BQM=\angle BCA,$ $\angle CQM=\angle CBA.$ Пусть прямая $AO$ пересекает $\Gamma$ в точке $E$ $(E \neq A)$, а описанная окружность треугольника $ETQ$ пересекает $\Gamma$ в точке $X \neq E.$ Докажите, что точки $A$, $M$ и $X$ лежат на одной прямой.