IMO олимпиада по математике 2019 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $I$ — центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC,$ в котором $AB \ne AC.$ Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается сторон $BC,$ $CA$ и $AB$ в точках $D,$ $E$ и $F$ соответственно. Прямая, проходящая через $D$ и перпендикулярная $EF,$ пересекает $\omega$ вторично в точке $R.$ Прямая $AR$ пересекает $\omega$ вторично в точке $P.$ Окружности, описанные около треугольников $PCE$ и $PBF,$ пересекаются вторично в точке $Q.$ Докажите, что прямые $DI$ и $PQ$ пересекаются на прямой, проходящей через $A$ и перпендикулярной $AI.$