IMO олимпиада по математике 2018 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ — бесконечная последовательность целых положительных чисел. Предположим, что существует целое число $N > 1$ такое, что при всех $n \ge N$ число $\dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_3} + \cdots + \dfrac{a_{n-1}}{a_n} + \dfrac{a_n}{a_1}$ является целым. Докажите, что найдётся такое целое положительное $M$, что $a_m = a_{m+1}$ при всех $m > M.$