IMO олимпиада по математике 2016 года | Казахстанские олимпиады

Найдите все положительные целые $n$, для которых в каждую клетку таблицы $n \times n$ можно записать ровно одну из букв $I$, $M$ или $O$ так, что:
• в каждой строке и в каждом столбце ровно треть составляют буквы $I$, ровно треть составляют буквы $M$, и ровно треть составляют буквы $O$; а также
• на каждой из диагоналей, количество клеток которой кратно трём, ровно треть составляют буквы $I$, ровно треть составляют буквы $M$, и ровно треть составляют буквы $O$.

Примечание: Если строки и столбцы таблицы $n \times n$ занумерованы числами от $1$ до $n$ в обычном порядке, то каждой клетке соответствует пара положительных целых чисел $(i, j)$, где $1 \times i$, $j \times n$. Для $n > 1$ в таблице суммарно есть $4n - 2$ диагоналей двух типов. Любая диагональ первого типа состоит из клеток $(i, j)$, для которых сумма $i + j$ постоянна, а любая диагональ второго типа состоит из клеток $(i, j)$, для которых разность $i - j$ постоянна.