IMO олимпиада по математике 2015 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $\Omega$ — окружность, описанная около треугольника $ABC$, а точка $O$ — ее центр. Окружность $\Gamma$ с центром $A$ пересекает отрезок $BC$ в точках $D$ и $E$ так, что точки $B$, $D$, $E$ и $C$ все различны и лежат на прямой $BC$ в указанном порядке. Пусть $F$ и $G$ — точки пересечения окружностей $\Gamma$ и $\Omega$, при этом точки $A$, $F$, $B$, $C$ и $G$ лежат на $\Omega$ в указанном порядке. Пусть $K$ — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $BDF$ и отрезка $AB$. Пусть $L$ — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $CGE$, и отрезка $CA$. Пусть прямые $FK$ и $GL$ различны и пересекаются в точке $X$. Докажите, что точка $X$ лежит на прямой $AO$.