IMO олимпиада по математике 2015 года | Казахстанские олимпиады

Конечное множество $S$ точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек $A$ и $B$ из множества $S$ найдется точка $C$ из множества $S$ такая, что $AC=BC$. Множество $S$ будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек $A$, $B$ и $C$ из множества $S$ не существует точки $P$ из множества $S$ такой, что $PA=PB=PC$.
(а) Докажите, что для любого целого $n\ge 3$ существует сбалансированное множество, состоящее из $n$ точек.
(б) Найдите все целые $n\ge 3$, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из $n$ точек.