IMO олимпиада по математике 2014 года | Казахстанские олимпиады

Точки $P$ и $Q$ выбраны на стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ так, что $\angle PAB=\angle BCA$ и $\angle CAQ=\angle ABC$. Точки $M$ и $N$ выбраны на прямых $AP$ и $AQ$ соответственно так, что $P$ — середина отрезка $AM$, а $Q$ — середина отрезка $AN$. Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ пересекаются на окружности, описанной около треугольника $ABC$.