IMO олимпиада по математике 2014 года | Казахстанские олимпиады

Пусть ${{a}_{0}} < {{a}_{1}} < {{a}_{2}} < \ldots$ — бесконечная последовательность целых положительных чисел. Докажите, что существует единственное целое число $n\ge 1$ такое, что ${{a}_{n}} < \dfrac{{{a}_{0}}+{{a}_{1}}+\cdots +{{a}_{n}}}{n}\le {{a}_{n+1}}.$