IMO олимпиада по математике 2013 года | Казахстанские олимпиады

Обозначим через ${{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ множество всех положительных рациональных чисел. Пусть $f:{{\mathbb{Q}}_{ > 0}}\to \mathbb{R}$ функция, удовлетворяющая следующим трем условиям:
(i) для всех $x,y\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ выполнено неравенство $f(x)f(y)\ge f(xy)$;
(ii) для всех $x,y\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ выполнено неравенство $f(x+y)\ge f(x)+f(y)$;
(iii) существует рациональное число $a > 1$ такое, что $f\left( a \right)=a$.
Докажите, что $f\left( x \right)=x$ для всех $x\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$.