IMO олимпиада по математике 2012 года | Казахстанские олимпиады

Дан треугольник $ABC$; точка $J$ является центром вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$. Эта вневписанная окружность касается отрезка $BC$ в точке $M$, а прямых $AB$ и $AC$ — в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямые $LM$ и $BJ$ пересекаются в точке $F$, а прямые $KM$ и $CJ$ пересекаются в точке $G$. Пусть $S$ — точка пересечения прямых $AF$ и $BC$, а $T$ — точка пересечения прямых $AG$ и $BC$. Докажите, что точка $M$ является серединой отрезка $ST$. (Вневписанной окружностью треугольника $ABC$, соответствующей вершине $A$, называется окружность, касающаяся стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$.)