IMO олимпиада по математике 2010 года | Казахстанские олимпиады

Точка $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, а $\Gamma$ — окружность, описанная около этого треугольника. Прямая $AI$ пересекает окружность $\Gamma$ в точках $A$ и $D$. Точка $E$ выбрала на дуге $BDC$ а точка $F$ — на стороне $BC$ так, что $\angle BAF=\angle CAE < \tfrac{1}{2}\angle BAC.$ Точка $G$ — середина отрезка $IF$. Докажите, что прямые $DG$ и $EI$ пересекаются в точке, лежащей на окружности $\Gamma$.