IMO олимпиада по математике 2009 года | Казахстанские олимпиады

Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Пусть $P$ и $Q$ — внутренние точки отрезков $CA$ и $AB$ соответственно. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $BP$, $CQ$ и $PQ$ соответственно, а $\Gamma$ — окружность, проходящая через точки $K$, $L$ и $M$. Известно, что прямая $PQ$ касается окружности $\Gamma$. Докажите, что $OP=OQ$.