IMO олимпиада по математике 2008 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность с центром в середине стороны $BC$, проходящая через точку $H$, пересекает прямую $BC$ в точках ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{2}}$. Аналогично окружность с центром в середине стороны $CA$, проходящая через точку $H$, пересекает прямую $CA$ в точках ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$, а окружность с центром в середине стороны $AB$, проходящая через точку $H$, пересекает прямую $AB$ в точках ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$. Докажите, что точки ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$ лежат на одной окружности.