IMO олимпиада по математике 2007 года | Казахстанские олимпиады

Даны действительные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$. Для каждого $i$ ($1\le i\le n$) положим

Пусть $d=\max \{{{d}_{i}}\mid 1\le i\le n\}$
а) Докажите, что для любых действительных чисел ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ справедливо неравенство $\max \{|{{x}_{i}}-{{a}_{i}}|\mid 1\le i\le n\}\ge \dfrac{d}{2}.\quad \quad (1)$
б) Покажите, что существуют такие действительные числа ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ что неравенство (1) обращается в равенство.