IMO олимпиада по математике 1994 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $m$ и $n$ — целые положительные числа. Пусть ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{m}}$ —различные элементы множества $\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ такие, что для любых индексов $i,j$, удовлетворяющих условиям $1\le i\le j\le m$ и ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}\le n$, существует индекс $k$, $1\le k\le m$, для которого ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}={{a}_{k}}$. Доказать, что $\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{m}}}{m}\ge \dfrac{n+1}{2}$.