Балканская олимпиада по математике 2020 года | Казахстанские олимпиады

Обозначим через ${{\mathbb{Z}}_{>0}}=\{ 1,2,3,\ldots \}$ множество всех положительных целых чисел. Определите все функции $f:{{\mathbb{Z}}_{>0}}\to {{\mathbb{Z}}_{>0}}$ такие, что для любого положительного числа $n$:

   А) $\underset{k=1}{\overset{n}{\mathop{\sum}}}\,f( k )$ является полным квадратом, и
   Б) $f\left( n \right)$ делит ${{n}^{3}}$.