Балканская олимпиада по математике 2015 года | Казахстанские олимпиады

В остроугольном разностороннем треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $\omega$ — описанная около него окружность. Прямые $AI$, $BI$ и $CI$ во второй раз пересекают $\omega$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Прямые, проходящие через $I$ и параллельные сторонам $BC$, $AC$, $AB$, пересекают прямые $EF$, $DF$, $DE$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ лежат на одной прямой.