Балканская олимпиада по математике 2010 года | Казахстанские олимпиады

В остроугольном треугольнике $ABC$ с ортоцентром $H$ (ортоцентр — точка пересечения высот) точка $M$ является серединой стороны $AC$. Точка $C_1$ стороны $AB$ — основание высоты $CC_1$ треугольника $ABC$, а точка $H_1$ симметрична $H$ относительно $AB$. Точки $P$, $Q$ и $R$ являются ортогональными проекциями точки $C_1$ на прямые $AH_1$, $AC$ и $BC$, соответственно. Пусть точка $M_1$ такая, что центр описанной окружности треугольника $PQR$ является серединой отрезка $MM_1$.
Докажите, что $M_1$ лежит на отрезке $BH_1$.