Балканская олимпиада по математике 2008 года | Казахстанские олимпиады

В остроугольном разностороннем треугольнике $ABC$, со сторонами $AC > BC$, $O$ — центр описанной окружности, $H$ — точка пересечения высот, а точка $F$ — основание высоты из вершины $C$. Пусть $P$ — точка прямой $AB$, отличная от $A$, такая, что $AF = PF$, и пусть $M$ — середина $AC$. Прямые $PH$ и $BC$ пересекаются в точке $X$, прямые $OM$ и $FX$ в точке $Y$, а прямые $OF$ и $AC$ — в точке $Z$. Докажите, что точки $F, M, Y, Z$ лежат на одной окружности.