Балканская олимпиада по математике 2004 года | Казахстанские олимпиады

Пусть точка $O$ лежит внутри остроугольного треугольника $ABC$. Окружности, с центрами в серединах сторон треугольника, проходят через точку $O$ и пересекаются второй раз в точках $K$, $L$ и $M$, отличных от $O$. Докажите, что $O$ является центром вписанной окружности треугольника $KLM$ тогда и только тогда, когда $O$ есть центр описанной окружности треугольника $ABC$.