Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2021 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $ABCD$ — вписанный выпуклый четырехугольник, и $\Gamma$ — его описанная окружность. Пусть $E$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$; $L$ — центр окружности, касающейся отрезков $AB$, $BC$, $CD$; $M$ — середина той из дуг $BC$ окружности $\Gamma$, которая не содержит точек $A$ и $D$. Докажите, что центр вневписанной окружности треугольника $BCE$ напротив вершины $E$ лежит на прямой $LM$.