Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2020 года | Казахстанские олимпиады

Докажите, что число $r = 2$ является наибольшим вещественным числом $r$, удовлетворяющим следующему условию:
Если последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots$ удовлетворяет неравенствам $a_n\leq a_{n+2}\leq \sqrt{a_n^2+ra_{n+1}}$ для всех натуральных $n$, то существует натуральное $M$ такое, что $a_{n+2}=a_n$ при всех $n\geq M$.