Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2017 года | Казахстанские олимпиады

Назовем рациональное число $r$-степенным, если $r$ может быть представлено в виде $\frac{p^k}{q}$ для некоторых взаимно простых натуральных чисел $p,q$ и некоторого целого $k > 1$. Пусть $a,b,c$ — положительные рациональные числа такие, что $abc=1$. Известно, что существуют натуральные числа $x,y,z$ такие, что число $a^x+b^y+c^z$ целое. Докажите, что числа $a,b,c$ степенные.