Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2017 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $A(n)$ равно количеству последовательностей натуральных чисел $a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_k$, для которых $a_1+\ldots+a_k=n$ и $a_i+1$ равно степени двойки для каждого $i=1,2,\ldots,k$. Пусть $B(n)$ равно количеству последовательностей натуральных чисел $b_1\geq b_2\geq \ldots \geq b_m$, для которых $b_1+\ldots+b_m=n$ и неравенство $b_j\geq 2b_{j+1}$ выполнено для каждого $j=1,2,\ldots,m-1$.

Докажите, что $A(n)=B(n)$ для всех натуральных $n$.