Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2014 года | Казахстанские олимпиады

Для натурального числа $m$ обозначим через $S(m)$ и $P(m)$ сумму и произведение его цифр, соответственно. Докажите, что для любого натурального $n$ существуют натуральные числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющие следующим условиям:

(Мы полагаем $a_{n+1} = a_1$.)