Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2013 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа. Конечные множества $A$ и $B$, состоящие из целых чисел, удовлетворяют следующим условиям:
(i) $A$ и $B$ не имеют общих элементов;
(ii) если целое число $i$ лежит в $A$ или в $B$, то либо $i+a$ лежит в $A$, либо $i-b$ лежит в $B$.
Докажите, что $a|A| = b|B|$. Здесь $|X|$ обозначает количество элементов $X$.