Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2013 года | Казахстанские олимпиады

Для заданных $2k$ вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots \,$, $a_k$, $b_1$, $b_2$, $\dots \,$, $b_k$ определим последовательность $X_n$ по формуле

Докажите, что если $X_n$ образуют арифметическую прогрессию, то число $\sum_{i = 1}^{k} a_i$ — целое. Здесь $[r]$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее $r$.