Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2010 года | Казахстанские олимпиады

Для натурального числа $k$ назовем целое число $\textit{точной k-ой степенью}$, если его можно представить в виде $m^k$ для некоторого целого числа $m$. Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют $n$ различных натуральных чисел таких, что их сумма является точной $2009$-ой степенью, а их произведение — точной $2010$-ой степенью. (Напоминаем, что $0$ не является натуральным числом.)