Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2009 года | Казахстанские олимпиады

Докажите, что для любого натурального числа $k$ существует арифметическая прогрессия $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}$, $\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}$, $\dots$, $\frac{{{a}_{k}}}{{{b}_{k}}}$ рациональных чисел, где ${{a}_{i}}$, ${{b}_{i}}$ — взаимно простые натуральные числа, при всех $i=1,\ 2,\ ...,\ k$, и все числа ${{a}_{1}}$, ${{b}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{b}_{2}}$, $\dots$, ${{a}_{k}}$, ${{b}_{k}}$ — различные.